EL PROBLEMA
La empresa COMPU TOTAL Ltda. Dedicada a la fabricación de mesas de computadoras,
ha ampliado su producción en dos líneas más. Por lo tanto actualmente fabrica
mesas, sillas, mesas para la impresora y bibliotecas. Cada mesa requiere de 2
piezas rectangulares de 8 pines, y 2 piezas cuadradas de 4 pines. Cada silla
requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2 piezas cuadradas de 4 pines,
cada mesas para la impresora requiere de
1 pieza rectangular de 8 pines, 1 cuadrada de 4 pines y 2 bases trapezoidales
de 2 pines y finalmente cada biblioteca requiere de 2 piezas rectangulares de 8
pines, 2 bases trapezoidales de 2 pines y 4 piezas rectangulares de 2 pines.
Cada mesa cuesta producirla $10000 y se vende en $ 30000, cada silla cuesta
producirla $ 8000 y se vende en $ 28000, cada mesas para la impresora cuesta
producirla $ 20000 y se vende en $ 40000, cada biblioteca cuesta producirla $
40000 y se vende en $ 60000. El objetivo de la fábrica es maximizar las
utilidades.
PASO 1: MODELACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL
Las variables: X1 = Cantidad de mesas a producir (unidades)
X2 = Cantidad de sillas a producir (unidades)
X3 = Cantidad de mesas para la impresora a producir (unidades)
X4 = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades)
as
restricciones:
2X1
+ 1X2 + 1X3 + 2X4
<= 24
2X1
+ 2X2 + 1X3 <= 20
2X3
+ 2X4 <= 20
4X4
<= 16
La
función Objetivo:
ZMAX = 20000X1 + 20000X2
+ 20000X3 + 20000X4
PASO 2: CONVERTIR LAS INECUACIONES EN ECUACIONES
En este paso el objetivo es asignar a cada recurso
una variable de Holgura, dado que todas las restricciones son
"<=".
2X1 + 1X2 + 1X3 +
2X4 + 1S1 + 0S2 + 0S3
+ 0S4 = 24
2X1 + 2X2 + 1X3 +
0X4 + 0S1 + 1S2 + 0S3
+ 0S4 =
20
0X1 + 0X2 + 2X3 +
2X4 + 0S1 + 0S2 + 1S3
+ 0S4 = 20
0X1 + 0X2 + 0X3 +
4X4 + 0S1 + 0S2 + 0S3
+ 1S4 = 16
De esta manera podemos apreciar una matriz
identidad (n = 4), formado por las variables de holgura las cuales solo tienen
coeficiente 1 en su respectivo recurso, por el ejemplo la variable de holgura
"S1" solo tiene coeficiente 1 en la restricción correspondiente a el
recurso 1.
La función objetivo no sufre variaciones:
ZMAX = 20000X1 +
20000X2 + 20000X3 + 20000X4
PASO 3: DEFINIR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL
El Método Simplex parte de una solución básica
inicial para realizar todas sus iteraciones, esta solución básica inicial
se forma con las variables de coeficiente diferente de cero (0) en la matriz
identidad.
1S1
= 24
1S2
=
20
1S3
= 20
1S4
= 16
PASO 4: DEFINIR LA TABLA SIMPLEX INICIAL
Solución: (segundo término)= En esta fila
se consigna el segundo término de la solución, es decir las variables, lo más
adecuado es que estas se consignen de manera ordenada, tal cual como se
escribieron en la definición de restricciones.
Cj = La fila "Cj" hace referencia al
coeficiente que tiene cada una de las variables de la fila "solución"
en la función objetivo.
Variable Solución = En esta columna se consigna la
solución básica inicial, y a partir de esta en cada iteración se van incluyendo
las variables que formarán parte de la solución final.
Cb = En esta fila se consigna el valor que tiene la
variable que se encuentra a su derecha "Variable solución" en la
función objetivo.
Zj = En esta fila se consigna la contribución total,
es decir la suma de los productos entre término y Cb.
Cj - Zj = En esta fila se realiza
la diferencia entre la fila Cj y la fila Zj, su significado es un "Shadow
price", es decir, la utilidad que se deja de recibir por cada unidad
de la variable correspondiente que no forme parte de la solución.
Solución inicial:
PASO 5: REALIZAR LAS ITERACIONES NECESARIAS
Este es el paso definitivo en la resolución por
medio del Método Simplex, consiste en realizar intentos mientras el modelo va
de un vértice del poliedro objetivo a otro.
El procedimiento a seguir es el siguiente:
1. Evaluar que variable entrará y cual saldrá de la
solución óptima:
2. El hecho de que una variable distinta forme
parte de las variables solución implica una serie de cambios en el tabulado
Simplex, cambios que se explicarán a continuación.
- Lo primero es no olvidar el valor del
"a" correspondiente a la variables a entrar, en este caso el "a
= 4".
Lo
siguiente es comenzar a rellenar el resto de la tabla, fila x fila.
Se repite este procedimiento con las dos filas
restantes, ahora se harán los cálculos correspondientes en el resto de las
celdas.
De esta manera se culmina la primera iteración,
este paso se repetirá cuantas veces sea necesario y solo se dará por terminado
el método según los siguientes criterios.
- Continuamos con las iteraciones para lo cual
tenemos que repetir los pasos anteriores.
En esta última iteración podemos observar que se
cumple con la consigna Cj - Zj <= 0, para ejercicios cuya función objetivo
sea "Maximizar", por ende hemos llegado a la respuesta óptima.
X1 = 3
X2 = 4
X3 = 6
X4 = 4
Con una
utilidad de: $ 340000
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